The double improper integral ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e ( − x 2 + y 2 / 2 ) d x d y may be defined as the limit value of the double integrals ∬ D a e ( − x 2 + y 2 / 2 ) d A over disks D a of radii a centered at the origin, as a increases without bound; that is, ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e ( − x 2 ) + y 2 / 2 d y d x = a → ∞ lim ∬ D a e ( − x 2 + y 2 / 2 ) d A a. Use polar coordinates to show that ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e ( − x 2 + y 2 / 2 ) d y d x = 2 π b. Show that ∫ − ∞ ∞ e − x 2 / 2 d x = 2 π by using the relation emsp; ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e ( − x 2 ) + y 2 / 2 d y d x = a → ∞ lim ∬ D a e ( − x 2 + y 2 / 2 ) d A
The double improper integral ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e ( − x 2 + y 2 / 2 ) d x d y may be defined as the limit value of the double integrals ∬ D a e ( − x 2 + y 2 / 2 ) d A over disks D a of radii a centered at the origin, as a increases without bound; that is, ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e ( − x 2 ) + y 2 / 2 d y d x = a → ∞ lim ∬ D a e ( − x 2 + y 2 / 2 ) d A a. Use polar coordinates to show that ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e ( − x 2 + y 2 / 2 ) d y d x = 2 π b. Show that ∫ − ∞ ∞ e − x 2 / 2 d x = 2 π by using the relation emsp; ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e ( − x 2 ) + y 2 / 2 d y d x = a → ∞ lim ∬ D a e ( − x 2 + y 2 / 2 ) d A
The double improper integral
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
e
(
−
x
2
+
y
2
/
2
)
d
x
d
y
may be defined as the limit value of the double integrals
∬
D
a
e
(
−
x
2
+
y
2
/
2
)
d
A
over disks
D
a
of radii a centered at the origin, as a increases without bound; that is,
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
e
(
−
x
2
)
+
y
2
/
2
d
y
d
x
=
a
→
∞
lim
∬
D
a
e
(
−
x
2
+
y
2
/
2
)
d
A
a. Use polar coordinates to show that
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
e
(
−
x
2
+
y
2
/
2
)
d
y
d
x
=
2
π
b. Show that
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
/
2
d
x
=
2
π
by using the relation emsp;
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
e
(
−
x
2
)
+
y
2
/
2
d
y
d
x
=
a
→
∞
lim
∬
D
a
e
(
−
x
2
+
y
2
/
2
)
d
A
With differentiation, one of the major concepts of calculus. Integration involves the calculation of an integral, which is useful to find many quantities such as areas, volumes, and displacement.
Probability and Statistics for Engineers and Scientists
Knowledge Booster
Learn more about
Need a deep-dive on the concept behind this application? Look no further. Learn more about this topic, subject and related others by exploring similar questions and additional content below.
01 - What Is an Integral in Calculus? Learn Calculus Integration and how to Solve Integrals.; Author: Math and Science;https://www.youtube.com/watch?v=BHRWArTFgTs;License: Standard YouTube License, CC-BY